한원소 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 위상 공간
5. 대수 구조
6. 범주론
7. 지시 함수를 이용한 정의
8. ''프린키피아 마테마티카''에서의 정의
참조

1. 개요

한원소 집합은 원소가 단 하나뿐인 집합을 의미하며, 여러 가지 동치 조건을 통해 정의된다. 집합의 크기가 1이거나, 임의의 두 원소가 같고, 부분 집합이 두 개이며, 집합 범주에서 끝 대상인 경우 등이 이에 해당한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 정칙성 공리는 한원소 집합이 그 원소와 구별됨을 보장하며, 공리적 집합론에서는 쌍 공리의 결과로 한원소 집합의 존재를 유도한다. 모든 한원소 집합은 집합 범주에서 끝 대상이며, 단사 함수 속성을 갖는다. 한원소 집합은 또한 위상 공간, 대수 구조, 범주론 등 다양한 수학적 구조에서 중요한 역할을 하며, 특히 범주론에서는 끝 대상 또는 영 대상으로 작용한다. 화이트헤드와 러셀은 지시 함수와 기호를 사용하여 한원소 집합을 정의하고, 이를 자연수 1을 정의하는 데 사용했다.

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한원소 집합
수학적 정의
정의	단 하나의 원소만을 포함하는 집합이다.
예시	{x}는 단일 집합이며, 여기서 x는 임의의 원소이다.
특징	모든 원소가 같은 집합이다. 공집합과는 다르다.
집합론적 관점
집합론	집합론에서 단일 집합은 원소와 동일시될 수 있다.
함수와의 관계	함수 f에 대해, f(x)가 단일 집합이면, f는 상수 함수이다.
활용
범주론	범주론에서 단일 집합은 끝 대상이다.
프로그래밍	일부 프로그래밍 언어에서 단일 집합을 사용하여 특정 값을 표현한다.
참고
관련 개념	집합, 공집합, 수학

2. 정의

집합 $S$ 가 다음 조건들을 만족하면 '''한원소 집합'''이라고 한다.

집합의 크기가 1이다.
$S\ne\emptyset$ 이며, 임의의 $a,b\in S$ 에 대하여, $a=b$ 이다.
$S$ 는 멱집합 $\mathcal P(S)$ 의 크기가 2이므로, 두 개의 부분 집합을 가진다.
집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 $T$ 에 대하여, $T$ 에서 $S$ 로 가는 함수는 유일하다.
임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon S\to T$ 에 대하여, $f$ 는 단사 함수이다.
임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon T\to S$ 에 대하여, $f$ 는 전사 함수이다.
임의의 집합 $T$ 에 대하여, 곱집합 $S\times T$ 는 $T$ 와 같은 크기를 갖는다. 즉, 전단사 함수 $\pi_2\colon S\times T\to T$ 가 존재한다.

3. 성질

체르멜로-프렝켈 집합론에서 정칙성 공리는 어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가질 수 없음을 보장한다. 이는 한원소 집합(싱글톤)이 반드시 그것이 포함하는 원소와 구별된다는 것을 의미한다.^[1] 예를 들어, 1과 {1}은 같은 것이 아니며, 공집합은 공집합만을 포함하는 집합과 구별된다.

공리적 집합론에서 싱글톤의 존재는 쌍 공리의 결과이다. 임의의 집합 *A*에 대해, *A*와 *A*에 적용된 공리는 {*A*, *A*}의 존재를 주장하며, 이는 싱글톤 {*A*}와 동일하다.

만약 *A*가 임의의 집합이고 *S*가 임의의 싱글톤이면, *A*에서 *S*로 가는 정확히 하나의 함수가 존재하며, 이 함수는 *A*의 모든 원소를 *S*의 단일 원소로 보낸다. 따라서 모든 싱글톤은 집합 범주에서 끝 대상이다.

싱글톤은 그것에서 임의의 집합으로 가는 모든 함수가 단사 함수라는 속성을 가진다. 이 속성을 가진 유일한 비-싱글톤 집합은 공집합이다.

모든 싱글톤 집합은 극대 전여과이다. 만약 $X$ 가 집합이고 $x \in X$ 이면, $X$ 에서 $\{x\}$ 의 상위 집합, 즉 집합 $\{S \subseteq X : x \in S\},$ 는 $X$ 에 대한 주 극대여과이다.^[2]

4. 위상 공간

위상 공간 $X$ 가 다음 조건들을 만족시키면 '''한원소 공간'''(singleton space^영어)이라고 한다.

이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
콜모고로프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.

5. 대수 구조

임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.

6. 범주론

단원소 집합을 기반으로 구축된 구조는 다양한 범주론에서 끝 대상 또는 영 대상의 역할을 한다.

집합의 범주인 '''Set'''에서 단원소 집합은 끝 대상이다.
모든 단원소 집합에는 유일한 위상 공간 구조를 줄 수 있으며, 이러한 단원소 위상 공간은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서 끝 대상이 된다.
모든 단원소 집합에는 유일한 군 구조(유일한 원소가 항등원 역할을 한다)를 줄 수 있으며, 이러한 단원소 군은 군과 군 준동형의 범주에서 영 대상이 된다.

7. 지시 함수를 이용한 정의

집합 ''S''를 지시 함수 '''1'''_''S'': ''X'' → {0, 1}로 정의할 때, ''S''가 한원소 집합이기 위한 필요충분조건은 해당 지시 함수 '''1'''_''S'' 가 적절한 ''y'' ∈ ''X''에 대해

: '''1'''_''S''(''x'') = (''x'' = ''y'')　　(∀ ''x'' ∈ ''X'')

(우변은 아이버슨 괄호)를 만족하는 것이다.^[5]

8. ''프린키피아 마테마티카''에서의 정의

화이트헤드와 러셀은 다음과 같은 정의를 도입하였다.^[3]

: $\iota$ '''‘''' $x = \hat{y}(y = x)$ '''Df.'''

기호 $\iota$ '''‘''' $x$ 는 단일 집합 $\{x\}$ 를 나타내며, $\hat{y}(y = x)$ 는 $x$ 와 동일한 객체들의 집합, 즉 $\{y : y=x\}$ 를 나타낸다.

이 정의는 주요 텍스트에서 명제 51.01로 나타나는 논증을 부분적으로 단순화한다.

이후 이 명제는 기수 1을 다음과 같이 정의하는 데 사용된다.

: $1=\hat{\alpha}((\exists x)\alpha=\iota$ '''‘''' $x)$ '''Df.'''

즉, 1은 단일 집합들의 집합이다. 이것은 정의 52.01이다.

참조

_[1] 서적 Sets, Logic and Axiomatic Theories W. H. Freeman and Company
_[2] 서적 Convergence Foundations of Topology World Scientific Publishing
_[3] 서적 Principia Mathematica
_[4] 서적 Sets, Logic and Axiomatic Theories W. H. Freeman and Company
_[5] 서적 Principia Mathematica 1861年

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